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Esperimento 3 : pendolo a grandi oscillazioni e di Kater

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  1. Pendolo a grandi oscillazioni

 

Apparecchiatura:

 

  1. Un pendolo in cui sia possibile misurare l’angolo di oscillazione
  2. Un cronometro

Teoria:

  • La legge teorica del moto del pendolo è la legge viene approssimata dicendo che il periodo è , questa formula risulta praticamente esatta per J ® 0. Quando l’angolo diventa grande e il sen(J ) non è più paragonabile a J possiamo approssimare il periodo con la seguente formula, ottenuta dallo sviluppo di Taylor [ T(J ) = T0 + a J 2 + b J 4...]

    T=T(0)*(1+aq^2)

    Abbiamo usato J 2 e non J perché usare le potenza dispari può portare a dei periodi negativi.

    Definiamo X = J 2 Y = T

  • Dati sperimentali:

  • q °

  • T (sec)

  • S(T) (sec)
  • 10

  • 1,4965

  • 0,005377422

  • 20

  • 1,5205

  • 0,005575243

  • 30

  • 1,54725

  • 0,011607289

  • 40

  • 1,573

  • 0,008356634

  • 50

  • 1,6095

  • 0,005545268

  • 60

  • 1,63975

  • 0,003705289

  • 70

  • 1,68575

  • 0,002528998

  • 80

  • 1,734

  • 0,004020779

  • 90

  • 1,81125

  • 0,010306753

  • 100

  • 1,90725

  • 0,002809953

  • 110

  • 1,982

  • 0,00678233

  • 120

  • 2,08975

  • 0,00906803

  • 130

  • 2,218

  • 0,005759051

  •  

     

     

  • Il T è, chiaramente, espresso in secondi e rappresenta la media di più misure il S(T) rappresenta il sigma diviso la radice del numero delle misure fatte.
  • Analisi dei dati:

  • Tenendo presente la formula e assumendo X = J 2 Y = T aT0 = A otteniamo:
  • X

  • Y

  • XY

  • X2

  • q 2 °

  • T (sec)

  •    
  • 100

  • 1,4965

  • 149,65

  • 10000

  • 400

  • 1,5205

  • 608,2

  • 160000

  • 900

  • 1,54725

  • 1392,525

  • 810000

  • 1600

  • 1,573

  • 2516,8

  • 2560000

  • 2500

  • 1,6095

  • 4023,75

  • 6250000

  • 3600

  • 1,63975

  • 5903,1

  • 12960000

  • 4900

  • 1,68575

  • 8260,175

  • 24010000

  • 6400

  • 1,734

  • 11097,6

  • 40960000

  • 8100

  • 1,81125

  • 14671,125

  • 65610000

  • 10000

  • 1,81125

  • 18112,5

  • 100000000

  • 12100

  • 1,982

  • 23982,2

  • 146410000

  • 14400

  • 2,08975

  • 30092,4

  • 207360000

  • 16900

  • 2,218

  • 37484,2

  • 285610000

  •  

    Risultati:

  • A

  • s2 A

  • s A

  •  
  • a

  • s a

  • 4,026E-05

  • 1,965E-11

  • 4,433E-06

  •  
  • 2,6949E-05

  • 3,0405E-06

  •  

  • To

  • s2 To

  • s To

  •  
  • To

  • s To

  • 1,4939369

  • 0,0013495

  • 0,0367361

  •  
  • 1,49393687

  • 0,03673612

  • A = 0,00004026 s/grad

    To = 1,493 s

    Possiamo quindi scrivere la funzione T(q 2) come segue:

    T = ( 0,00004026 q 2 ) + 1,493

    T ( q 2 )

    Il test del c 2 dà i seguenti risultati :

    c 20 / n = 1,24 e P( c 2 > c 20 ) = 27,59 %

    Il risultato non é molto positivo e questo dipende dal fatto che abbiamo considerato anche l’angolo di 130° ; infatti il test del c 2 dà risultati più confortanti se si esclude l’angolo di 130° . Forse questo peggioramento dipende dal fatto che per angoli superiori a 120° l’approssimazione in q 2 non é più sufficiente e dovrebbe esserne aggiunta una in q 2; la principale causa di errore in questo esperimento é legata alle oscillazioni che il pendolo compie lungo il proprio asse quando l’angolo di partenza supera i 70° .

    2. Pendolo di Kater

  • Apparecchiatura :

  • 1) Pendolo di Kater

    2) Cronometro

  • Teoria:

  • Qualsiasi corpo rigido può essere utilizzato come pendolo; infatti per ogni corpo esteso che oscilli attorno ad un asse orizzontale vale la seguente legge :

    I a = -mgd sinq

    dove I é il momento di inerzia del corpo rispetto all’asse attorno a cui oscilla, a é l’accelerazione angolare, m é la massa del corpo e d é la distanza fra il centro di massa del corpo e l’asse di rotazione. Da questa legge ricaviamo che:

    w 2 = T = 2p Ö ()

    Sostituendo nella seconda relazione la corretta espressione di I ottengo:

    d2 - T2gd/4p 2 + G2 = 0

    dove G é il raggio di girazione.

    Questa é una equazione di secondo grado in d, quindi:

    (d1+d2) = ( )2 ® g = 4(d1+d2)()2

    Questa relazione afferma che per ogni corpo esistono due punti distinti attorno ai quali si misura lo stesso periodo di oscillazione; il pendolo di Kater é costruito in modo da poter oscillare attorno a due coltelli posti alle sue estremità e ha un peso mobile che può essere fissato in un punto qualsiasi tra i due coltelli. In questo modo é possibile variare la distanza dei due centri di rotazione dal centro di massa del pendolo senza variare pero la loro somma, che é pari alla distanza fra i due coltelli. Lo scopo dell’esperimento é fissare il peso mobile in modo tale che i periodi di oscillazione rispetto a ciascun coltello siano pressoché identici; dopo aver determinato questo "periodo comune " é possibile calcolare l’accelerazione di gravità locale utilizzando la formula:

    g = 4 (d1+d2) ()2

  • Dati sperimentali:

     

     

  • Analisi dei dati:

     

  • L’unico errore possibile in questo esperimento dipende dalla mancanza di precisione nella rilevazione del periodo a causa del mancato sincronismo tra chi misura i tempi e chi lascia partire il pendolo.