In diversi campi della fisica e della tecnologia si ricorre alla misura della resistenza elettrica di un sistema allo scopo di studiare le proprietà della materia oppure ottenere misure indirette di altre grandezze fisiche. Le applicazioni spaziano dalla misura delle resistività per permettere l’individuazione della velocità di reazione delle iterazioni chimiche, alla misura delle variazioni di resistenza per ottenere una misura della temperatura, oppure alla misura degli allungamenti e degli sforzi, per non parlare poi della misura della resistenza di un circuito che è essenziale per descrivere il comportamento elettrico del circuito stesso.

Per la misura della resistenza elettrica esistono diversi metodi: la scelta del metodo è determinata in genere dalla precisione richiesta nella misura, dall’intervallo di valori in cui cade la resistenza incognita e dalla necessità di minimizzare gli effetti perturbativi introdotti dalla misura stessa.

Noi useremo misure in corrente continua ed alternata di alcune resistenze elettriche mediante

il ponte di Wheatstone,

il ponte a filo,

il ponte di Kohlraush.

Siamo interessati al confronto della sensibilità dei diversi metodi nella caratterizzazione delle cinque resistenze elettriche incognite date.

Per la misura della resistenza incognita R_x si realizza il circuito di Fig.1.1 detto ponte di Wheatstone, in cui gli elementi principali sono le resistenze note R₀ , R₁ ed R₂ del tipo con manopola a scatti; un galvanometro G a zero centrale sufficientemente sensibile e un generatore di f.e.m. continua.

Prima di iniziare l’esperimento abbiamo controllato con un tester le resistenze campione allo scopo di non sbagliare nell’effettuare le connessioni, poiché le resistenze del tipo manopola a scatti hanno tre boccole e bisogna decidere quali utilizzare.

Alla chiusura dell’interruttore T₁ la corrente si distribuisce nei vari rami del circuito secondo le ben note leggi di Kirchhoff ed in particolare l’intensità di corrente che circola nel ramo BD viene rilevata dal galvanometro. Variando opportunamente le resistenze R₀ , R₁ ed R₂ è possibile annullare la corrente nel ramo BD (cioè i punti B e D vengono a trovarsi allo stesso potenziale). Bisogna cioè ricercare la condizione di zero del galvanometro con l’interruttore T₂ aperto di modo che la corrente passi nella resistenza r messa a protezione del galvanometro durante le fasi iniziali dell’esperimento quando i rami del ponte possono essere ancora notevolmente sbilanciati. Cambiando opportunamente la resistenza R₀ abbiamo individuato la condizione di zero, in cui l’indice del galvanometro non subiva più alcuna deviazione. Dopodiché abbiamo escluso la resistenza di protezione chiudendo T₂ per raggiungere una maggiore sensibilità.

Per migliorare la sensibilità abbiamo cercato da subito, per quanto possibile, di eguagliare le resistenze R₁ ed R₂ con i valori di R₀, in modo da far risultare le quattro resistenze con valori pressoché identici.

Quando la condizione di zero è soddisfatta , nelle resistenze R_x ed R₀ circola la stessa corrente i₀ = i_x , analogamente nelle resistenze R₁ ed R₂ circola la stessa corrente i₁ = i₂. Applicando la legge di Ohm ai quattro rami del circuito si ottiene:

Ricordando che VB=VD si ricava:

R_xi₀=R₁i₁

R₀i₀=R₂i₁

Dividendo membro a membro si ottiene per la resistenza incognita R_x la seguente espressione:

Conoscendo i valori di R₀ ,R₁ ed R₂ quando il ponte è bilanciato (cioè quando la corrente nel ramo del galvanometro e’ nulla) si determina la resistenza incognita R_x .

Abbiamo fissato il rapporto R₁/R₂ e abbiamo variato soltanto R0 per ricercare la condizione di zero. Quando il valore R_x rientra nell’intervallo di valori delle resistenze campione conviene porre R₁= R₂= R₀ poiché la sensibilità del metodo e’ massima per questa condizione.

Per migliorare ulteriormente la sensibilità del ponte abbiamo aumentato la tensione fornita dal generatore laddove era possibile dopo ovviamente aver verificato se la potenza che veniva inviata nelle resistenze era compatibile con le componenti del circuito.

Abbiamo cioè preso misure tra i 4 V e i 12 V.

Siamo stati attenti affinché l’interruttore T₁ rimanesse chiuso per il tempo strettamente necessario per l’osservazione delle deviazioni sul galvanometro ed evitare così il riscaldamento delle resistenze del ponte, soprattutto quando i valori delle resistenze in gioco erano piuttosto piccoli e laddove si era in presenza di tensioni un po’ più elevate.

La condizione di zero è stata ottenuta con buona approssimazione poiché la resistenza R₀ con la manopola a scatti poteva essere variata lungo un grande campo di valori dal decina di migliaia alla decima parte di Ohm. Le resistenze campione invece avevano un range di valori meno flessibile.

Avevamo a disposizione cinque resistenze incognite Rx ed abbiamo ottenuto i seguenti dati ponendone una alla volta all’interno del circuito:

Per la prima resistenza, troppo elevata per le resistenze campione R₁ ed R₂ , non abbiamo potuto eguagliare i valori di R₁ ed R₂ a quelli di R₀. Mentre per tutte le altre quattro resistenze la condizione di eguaglianza è stata raggiunta senza problemi, sempre però con un grado di precisione accettabile, poiché le resistenze R₁ ed R₂ erano diverse da quella più precisa R₀.

La precisione di misura è determinata infatti soltanto dalla precisione delle resistenze note, infatti al galvanometro è richiesta una buona sensibilità ma non necessariamente una elevata precisione in quanto funge da strumento di zero.

La sensibilità del metodo si ricava dall’espressione dell’intensità di corrente ig che circola nel ramo BD quando il ponte non è bilanciato. Tenendo conto delle leggi di Kirchhoff si possono scrivere:

per i nodi:

i = i_x + i₁

i₀ = i_x + i_g

i = i₀ + i₂

per le maglie:

R₂ i₂ + R₁i₁ + r₀ i = f

R₁ i₁ – R_x i_x + r i_g = 0

R₀ i₀ + r i_g + R₂ i₂ = 0

dove r₀, è la resistenza interna del generatore ed r la resistenza interna del galvanometro (a cui si somma eventualmente la resistenza di protezione).

Dai due sistemi di equazioni si ricava:

dove D è dato dalla seguente espressione:

D = r r₀ (R_{0 _}+ R₁ + R₂ + R_x ) + r ( R₀ + R_x ) ( R₁ + R₂ ) + r₀ ( R₁ + R_x ) ( R₂ + R₀ ) + R₁ R₂ ( R₀ + R_x ) + R_x R₀ (R₁ + R₂)

Il risultato conferma che la corrente si annulla nel ramo BD quando è verificata la condizione di ponte bilanciato.

La sensibilità del metodo nella ricerca delle condizioni di bilanciamento può venire aumentata riducendo a zero la resistenza di protezione sul ramo del galvanometro, togliendo l’eventuale resistenza inserita in serie al generatore e contemporaneamente innalzando la f.e.m. del generatore.

Quando questi parametri sono fissati , si può dimostrare che la massima sensibilità si ha quando R_x = R₀ = R₁= R₂ , come abbiamo detto in precedenza. Nel caso non si possa si procede in questo modo, come nel caso della prima resistenza incognita si pone almeno R₁/R₂ = 1.

Trascurando i termini che contengono r e r₀, si può ottenere una semplice espressione della sensibilità del metodo differenziando la relazione in questo modo:

Nell’ipotesi che R_x = R₀ = R₁= R₂ la relazione appena scritta si semplifica ulteriormente e diventa:

e da questo risultato la sensibilità:

Dato che invece nel nostro esperimento la condizione di eguaglianza delle quattro resistenze non sempre veniva soddisfatta (c’era ad esempio la prima resistenza per la quale R₁ e R₂ non potevano essere eguagliate a R_x ), abbiamo deciso di usare quest’altra formula che tiene conto più precisamente di tute le variabili e che eventualmente si può ridurre a quella meno generale:

Abbiamo considerato la sensibilità per i valori della f.e.m. 4 V e 12 V. Abbiamo notato anche sperimentalmente che la maggiore precisione si ha per valori di differenza di potenziale più elevati.

Riassumendo per avere uno specchio maggiormente visibile della situazione abbiamo interpolato i dati ed ottenuto questi dati che confronteremo con quelli degli altri metodi:

Come si vede la sensibilità del metodo è in genere molto elevata e tale da non rappresentare un limite alla precisione della misura che risulta invece determinato dagli errori di cui sono affette le resistenze campione.

Il dispositivo del ponte di Wheatstone può essere semplificato sostituendo alle due resistenze campione R₁ e R₂ un filo metallico quanto più possibile omogeneo (r = resistività costante) e calibro (S = sezione costante) lungo il quale può essere fatto scorrere un cursore collegato al ramo in cui è inserito il galvanometro (vedi Fig. 1.2) che con il suo punto di contatto C delimita il reocordo nelle lunghezze a e b dei tratti rispettivamente AC e CB il cui rapporto può essere variato con continuità.

L’apparato sperimentale per il resto è simile al precedente. Il ponte a filo si realizza con un reocordo, filo di lunghezza costante e nota (L=1m) teso su un supporto isolante tra due morsetti A e B a cui vengono collegati l’alimentatore e le resistenze R₀ e R_x .

Per la determinazione di R_x si procede come con il ponte di Wheatstone sostituendo alle resistenze campione, il valore: , ottenendo così:

La ricerca della condizione di bilanciamento si effettua spostando il contatto C lungo il filo calibro ed eventualmente variando il valore di R₀, qualora la condizione di zero del galvanometro non si verifichi all’incirca a metà del filo (cioè non sia corrisposta la condizione a = b, che è una delle condizioni che concorre per una migliore sensibilità di misura della resistenza incognita R_x).

Per una verifica della buona qualità del reocordo abbiamo preso le prime misure con l’apparato mostrato in fig. 1.2 e poi abbiamo invertito la resistenza incognita R_x con quella nota a manopola a scatti R₀ per ricercare di nuovo la condizione di equilibrio.

Abbiamo notato che le due lunghezze a e a’ e b e b’ non sono proprio identiche, ciò è probabilmente dovuto al deterioramento del reocordo a causa dei continui surriscaldamenti e raffreddamenti. In questo caso la tensione utilizzata, e quindi la corrente inviata nell’apparato, è stata molto minore rispetto a quella usata in precedenza per il ponte di Wheatstone, poiché il reocordo era molto sensibile e sarebbe bastato poco per farlo fondere. Abbiamo utilizzato la differenza di potenziale di 1 V.

Per ridurre gli errori nel caso che il filo reocordo non sia perfettamente calibro. Se la sezione media delle due tratte di filo sia S_a ¹ S_b allora ed anche . Dato che la condizione di bilanciamento viene raggiunta per un valore di a ~ b il rapporto delle due sezioni differenti di filo non subisce grandi variazioni (S_a’/S_b’ ~ S_a/S_b) e quindi dalle relazioni precedenti si ottiene:

Da questi risultati si ricava rispettivamente per le resistenze incognite il valore:

Da questi risultati notiamo che la sensibilità in questo esperimento è minore rispetto a quella del ponte di Wheatstone.

Per avere la massima sensibilità del ponte a filo si aggiusta la resistenza R₀ in maniera che l’equilibrio si abbia per a = b. La dimostrazione è la stessa che abbiamo svolto precedentemente nel ponte di Wheatstone, sostituendo ai valori di R₁ e R₂ le resistenze dei tratti di filo AC e CB.

Usando l’espressione ricavata per il ponte di Wheatstone e sostituendo R₁ e R₂ si ricava:

In questo caso, non si può eguagliare R₁, R₂, R₀ ed R_x in modo preciso, per cui ci dovremo accontentare dell’uguaglianza dei soli tratti a e b, che rappresentano la relazione R₁=R₂.

L’errore percentuale nella misura di R_x è dell’ordine di:

Per ridurre al minimo l’errore relativo nella misura della resistenza incognita, inoltre, occorre che la condizione di zero si manifesti a circa metà del filo (cioè a = b, tale che R_x = R₀). Infatti indicata con L la lunghezza totale del filo e posta b = L – a , dalla relazione si ottiene per l’errore relativo la seguente espressione:

Per un valore prefissato di D a (determinato dalla risoluzione della scala e dallo spessore del coltello con il quale è realizzato il contatto sul filo) l’errore relativo diviene minimo quando il prodotto a(L – a ) acquista il suo valore massimo, e ciò succede per a = L/2.

In questo caso inoltre le tensioni inviate nel ponte sono minori di quelle del ponte di Wheatstone, altrimenti il circuito si potrebbe danneggiare. Quindi per tutto quello che abbiamo detto possiamo concludere che è accettabile che le sensibilità rivelate con questo metodo siano peggiori rispetto a quelle di prima infatti:

Il metodo di Kohlrausch consente di effettuare la misura di una resistenza elettrica mediante una corrente alternata anziché una corrente continua.

A questo scopo si utilizza un ponte a filo in cui il galvanometro a zero centrale viene sostituito con una cuffia. Quando il ponte non è bilanciato la cuffia, percorsa dalla corrente, emette un fischio la cui intensità diminuisce man mano che il cursore si avvicina alla condizione di bilanciamento. La posizione di bilanciamento viene determinata quando l'intensità del fischio raggiunge il valore minimo. Poiché la sensibilità dell'orecchio umano alle varie frequenze sonore ha un massimo attorno ai 3000 - 4000 Hz abbiamo utilizzato un generatore di corrente alternata operante, per quanto possibile, in prossimità di tali livelli di frequenza. Se da un lato la frequenza elevata facilita l'individuazione del minimo, dall'altro lato richiede che le resistenze campione siano antiinduttive (questa caratteristica è ottenibile con opportuni metodi di avvolgimento nel caso di resistenze a filo) e che le capacità distribuite (più difficili da eliminare) siano trascurabili.

Nel ponte di Kohlrausch, allo scopo di rendere più netta l'individuazione del minimo, si inverte la posizione della cuffia e quella del generatore di corrente alternata, come mostrato in figura 1.3.

In laboratorio abbiamo invertito anche la resistenza R_x con la R₀ oltre che il generatore con la cuffia. Abbiamo ripetuto quindi un buon numero di volte l’esperimento poiché l’individuazione del minimo non era molto precisa. Ci siamo quindi alternati un po’ di volte per individuare con una buona approssimazione questo valore, anche se è stato molto complicato, poiché in certi casi il minimo veniva sentito da due persone differenti in due differenti posizioni del cursore sul reocordo.

Per il resto abbiamo proceduto come nel ponte a filo, curando il fatto che le frequenze cadessero con buona approssimazione intorno ai 4000 Hz:

Nella nostra tabella la condizione 1) significa che il generatore e la cuffia sono posizionati come nella fig.1.3. , mentre la condizione con il 2) rappresenta l’inversione della cuffia col generatore di corrente alternata. La situazione a) dice che R_x e R₀ sono come nella fig.1.3., mentre la b) vuole significare il fatto che c’è stata un’inversione di R_x con R₀.

Per la prima resistenza abbiamo riscontrato un annullamento del suono molto prima della metà del reocordo, ciò è probabilmente dovuto al fatto che la prima resistenza è quella più elevata. Allora per evitare di non determinare questa prima resistenza abbiamo segnato la condizione di annullamento del suono sia a sinistra sia a destra prendendo due valori della lunghezza a. Il valore medio secondo una nostra interpretazione non potrà che cadere all’interno dei due valori, perciò abbiamo preso la media dei due per determinare a.

Applicando l’espressione ottenuta precedentemente e facendo una media tra i risultati della situazione 1) e 2) per eliminare eventuali errori dovuti alla posizione del generatore e della cuffia otteniamo:

Confrontando i dati dei tre metodi utilizzati ci risultano i seguenti valori per le cinque resistenze:

Il ponte di Kohlraush ha i dati meno precisi degli altri due metodi e ciò è imputabile essenzialmente alla difficoltà di determinare la condizione di minimo. Pur avendoci messo tutta la buona volontà ed ottenuto una quantità di dati doppia rispetto a quella del ponte a filo (qui non si doveva solo invertire R_x con R₀, ma anche il generatore con la cuffia), non abbiamo potuto ottenere dati migliori di questi. E’ da notare che l’errore standard sulla media del ponte di Kohlraush è paragonabile a quello del ponte a filo.

Il Ponte di Wheatstone invece è sicuramente il metodo più preciso per tutta la serie di ragioni esposte nella parte di esperimento che confrontava il ponte a filo con quello di Wheatstone.

Bisogna pero’ dire che il ponte di Kohlraush, anche se meno preciso degli altri due ha il grande vantaggio di operare in corrente alternata e può essere usato per la misura della resistenza interna delle pile o per la misura della resistenza delle soluzioni elettrolitiche: infatti l’uso di corrente continua in tali sistemi, provocando la polarizzazione degli elettrodi, potrebbe falsare in maniera determinante la misura.